Tautologi dan Kontradiksi

“Ah….si Ardi bohong lagi tuh!” gerutu Anton.
“Bohong apa, Ton?” tanya Hasan.
“Nih….baca smsnya.” Anton menyodorkan ponselnya pada Hasan.
“Di sini dia bilang mungkin dia akan ikut atau mungkin juga tidak ikut nonton.” Hasan membaca sms Ardi.
“Nyatanya sekarang dia tidak ikut nonton bersama kita kan? Artinya dia bohong tuh.” omel Anton.
“Menurutku tidak begitu, Ton. Di sms itu dia kan bilang mungkin ikut, atau mungkin juga tidak ikut. Nah, kalau sekarang dia tidak ikut nonton kan sudah sesuai dengan isi smsnya.” Hasan menjelaskan pada Anton.
“Apa iya begitu?” Anton tak percaya.
“Hahahaha….menurut prinsip tautologi sih begitu, Ton.” jawab Hasan.
“Tautologi itu apa sih?” Anton tampak kebingungan.

Pernahkah kalian mendengar istilah tautologi?

Tautologi merupakan salah satu istilah dalam logika matematika.
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar pada setiap kemungkinan nilai kebenaran dari premis-premisnya.

Untuk mengetahui apakah suatu pernyataan merupakan tautologi ataukah bukan, kita dapat membuat tabel nilai kebenaran dari pernyataan tersebut. Tabel nilai kebenaran ini dibuat dengan cara mendaftar semua kemungkinan nilai kebenaran dari setiap premis-premisnya.

Contoh 1:

Pada tabel nilai kebenaran di atas, tampak bahwa pernyataan p ∨ ~p selalu bernilai benar (B) untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari premis p.

• pernyataan p ∨ ~p bernilai benar (B) pada saat p bernilai benar (B)
• pernyataan p ∨ ~p juga bernilai benar (B) pada saat p bernilai salah (S)

Dengan demikian, pernyataan p ∨ ~p merupakan suatu tautologi.

Contoh 2:

Pada tabel nilai kebenaran di atas, tampak bahwa pernyataan (p ⇒ ~p) ∨ p selalu bernilai benar (B) untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari premis p.

• pernyataan (p ⇒ ~p) ∨ p bernilai benar (B) pada saat p bernilai benar (B)
• pernyataan (p ⇒ ~p) ∨ p juga bernilai benar (B) pada saat p bernilai salah (S)

Dengan demikian, pernyataan (p ⇒ ~p) ∨ p merupakan suatu tautologi.

Kontradiksi merupakan negasi dari tautologi. Dengan demikian, kontradiksi merupakan pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah pada setiap kemungkinan nilai kebenaran dari premis-premisnya.

Seperti halnya tautologi, untuk mengetahui apakah suatu pernyataan merupakan kontradiksi ataukah bukan, kita perlu membuat tabel kebenaran dari pernyataan tersebut.

Contoh 3:

Pada tabel nilai kebenaran di atas, tampak bahwa pernyataan p ∧ ~p selalu bernilai salah (S) untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari premis p.

• pernyataan p ∧ ~p bernilai salah (S) pada saat p bernilai benar (B)
• pernyataan p ∧ ~p juga bernilai benar (S) pada saat p bernilai salah (S)

Dengan demikian, pernyataan p ∧ ~p merupakan suatu kontradiksi.

Contoh 4:

Pada tabel nilai kebenaran di atas, tampak bahwa pernyataan (p ⇒ ~p) ∧ p selalu bernilai salah (S) untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari premis p.

• pernyataan (p ⇒ ~p) ∧ p bernilai salah (S) pada saat p bernilai benar (B)
• pernyataan (p ⇒ ~p) ∧ p juga bernilai benar (S) pada saat p bernilai salah (S)

Dengan demikian, pernyataan (p ⇒ ~p) ∧ p merupakan suatu kontradiksi.