Perkalian dan Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Perkalian dan Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Perkalian dan Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Perkalian dan Perpangkatan Bilangan Berpangkat – Pagi ini Pak Guru memberikan kuis saat pelajaran matematika berlangsung.
“Cokelat ini akan menjadi milik siswa yang berhasil menjawab pertanyaan” kata Pak Guru sambil mengacungkan sebatang cokelat.
Para siswa mendadak bersorak penuh semangat.
“Apa pertanyaannya, Pak? Pasti saya bisa menjawab dengan benar” ujar Bono penuh percaya diri.
“Jangan sombong dulu, Bon! Siapa tahu jawabanmu salah” hardik Lusi.
“Oke…jangan ribut. Pertanyaannya adalah …… berapakah hasil dari 23?” seru Pak Guru.
Lusi dan Bono mengangkat tangan bersamaan, lebih dulu dari siswa-siswa yang lain.
Pak Guru mempersilakan Bono untuk menjawab duluan.
“Jawabannya enam, Pak!” seru Bono mantap.
“Tidak, Pak… jawaban yang benar adalah delapan.” Jawab Lusi.

Nah… jawaban siapakah yang betul?
Yuk temukan jawabannya dalam topik ini.

Bilangan Berpangkat

Pernahkan kalian menemukan bentuk 23?
Bagaimana cara kalian membacanya?

Bentuk 23 dibaca “dua pangkat tiga”.

Perlu kalian ketahui bahwa dua pangkat tiga tidak sama dengan dua dikalikan tiga.
Mengapa demikian?

Hal ini karena bilangan berpangkat merupakan perkalian berulang dari bilangan tersebut sebanyak pangkat dari bilangan tersebut.

Dalam bilangan berpangkat, a pangkat n ditulis an dan didefinisikan sebagai berikut.

Lebih lanjut, bilangan a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat atau eksponen.

Perlu kalian ketahui bahwa nilai \alpha haruslah positif dan tidak boleh sama dengan satu (\alpha > 0 dan (\alpha \neq 1)

Contoh:

  • a2 = a ⨉ a → perkalian berulang bilangan a sebanyak 2 kali
  • a3 = a ⨉ a ⨉ a → perkalian berulang bilangan a sebanyak 3 kali

Berdasarkan pengertian tersebut, maka nilai dari 23 adalah 2 ⨉ 2 ⨉ 2 = 8.

Nah, dengan demikian kalian tahu kan siapa yang memenangkan kuis Pak Guru tadi?
Ya, benar sekali. Lusi yang akhirnya mendapatkan cokelat dari Pak Guru.

Lalu bagaimana dengan Bono?
Mengapa ia bisa sampai salah dalam menjawab kuis tersebut?
Rupanya hal tersebut terjadi karena Bono salah mengartikan 23 sebagai 2 ⨉ 3, sehingga jawaban yang seharusnya 8, ia jawab dengan 6. Tentu saja jawaban Bono tersebut salah.

Tidak hanya Bono, kalian pun bisa juga melakukan kesalahan yang sama apabila
tidak hati-hati dalam mencermati soal.

Yuk kita cermati beberapa contoh berikut.

Contoh 1:

  • 53 = 5 ⨉ 5 ⨉ 5 = 125
  • 34 = 3 ⨉ 3 ⨉ 3 ⨉ 3 = 81
  • 105 = 10 ⨉ 10 ⨉ 10 ⨉ 10 ⨉ 10 = 100.000

Contoh 2:

Diketahui 3m = 81. Tentukan nilai m yang memenuhi persamaan tersebut.

Penyelesaian:

Oleh karena 81 = 3 ⨉ 3 ⨉ 3 ⨉ 3, maka 81 = 34.
Dengan demikian, m = 4.

Contoh 3:

Diketahui 4n = 64. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan tersebut.

Penyelesaian:

Oleh karena 64 = 4 ⨉ 4 ⨉ 4, maka 64 = 43.
Dengan demikian, n = 3.

Agar kalian lebih paham, kerjakanlah latihan soal dalam topik ini.

Perkalian dan Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Masih ingatkah kalian tentang kisah Bono yang gagal memenangkan hadiah cokelat dari Pak Guru pada topik sebelumnya?

Rupanya Bono tidak mau menyerah begitu saja pada kegagalannya. Hal ini terbukti saat ulangan matematika tentang perkalian dan perpangkatan bilangan berpangkat hari ini.
Bono mendapat nilai 100!

Apa yang dilakukan Bono sehingga ia mendapat nilai 100?
Yuk, temukan jawabannya dalam topik kali ini.

Perkalian Bilangan Berpangkat

Seminggu sebelum ulangan matematika, Bono datang ke rumah Lusi untuk belajar bersama.
“Ajari aku tentang perkalian bilangan berpangkat dong, Lus” pinta Bono.
“Oke. Bon, tahu nggak bagaimana cara mengalikan bilangan berpangkat?” tanya Lusi yang disambut dengan gelengan kepala oleh Bono.

Lusi pun mulai menjelaskan pada Bono.
“Bilangan berpangkat memiliki beberapa sifat, salah satunya adalah

a m ⨉ a n = a m+n   …( 1 )

Nah, sifat itulah yang digunakan untuk menentukan hasil perkalian bilangan berpangkat.” kata Lusi.

“Kok bisa begitu? Dari mana asalnya, Lus?” tanya Bono.
“Coba simak uraian berikut, Bon.”

Lusi mengambil selembar kertas kemudian menuliskan:

a m ⨉ a n = a ⨉ a ⨉ … ⨉ a ︸ sebanyak  m   ⨉   a ⨉ a ⨉ … ⨉ a ︸ sebanyak n = a ⨉ a ⨉ … ⨉ a ︸ sebanyak  ( m+n ) = a ( m+n )

“Bagaimana, Bon? Sudah jelas?” tanya Lusi.
Bono mengangguk tanda ia sudah paham mengapa am ⨉ an = a(m + n).

“Nah Bon, masih ada lagi lho suatu sifat yang berkaitan dengan perkalian bilangan berpangkat.

( a ⨉ b ) m = a m ⨉ b m   …( 2 )

Sifat ini akan mempermudah kita dalam memecahkan soal tentang perkalian bilangan berpangkat.” Ujar Lusi penuh semangat.
“Coba beri aku beberapa contoh soal tentang perkalian bilangan berpangkat dong, Lus!” pinta Bono.

Lusi pun memberikan selembar kertas berisi beberapa contoh perkalian bilangan berpangkat sebagai berikut.

Contoh:

Tentukan nilai dari

  1. 22 ⨉ 24
  2. (2 ⨉ 3)3

Penyelesaian:

Berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat,

  1. 22 ⨉ 24 = 2(2 + 4) = 26
  2. (2 ⨉ 3)3 = 23 ⨉ 33 = (2 ⨉ 2 ⨉ 2) + (3 ⨉ 3 ⨉ 3) = 8 ⨉ 27 = 216

“Itu jawabanku, Lus” kata Bono dengan riang.
“Wah hebat sekali kau, Bon! Jawabanmu betul semua!” puji Lusi.
Bono yang mendengarnya pun tersenyum bangga.

Perpangkatan Bilangan Berpangkat

“Lus, aku akhirnya paham tentang perkalian bilangan berpangkat. Tapi, bagaimana dengan perpangkatan bilangan berpangkat?”

Lusi pun menjawab bahwa untuk menentukan hasil perpangkatan bilangan berpangkat, digunakan sifat:

( a p ) q = a p ⨉ q   …( 3 )

“Kenapa bisa begitu, Lus?” tanya Bono.

Lusi kembali mengambil sehelai kertas dan menuliskan penjelasannya.

( a m ) n = a m ⨉ a m ⨉ … ⨉ a m ︸ sebanyak  n = a ⨉ a ⨉ … ⨉ a ︸ sebanyak  m   ⨉  a×a ⨉ …⨉a ︸ sebanyak  m   ⨉  …  ⨉  a ⨉ a ⨉ … ⨉ a ︸ sebanyak  m ︸  sebanyak  n = a ⨉ a ⨉ … ⨉ a ︸ sebanyak  ( n ⨉ ;m ) = a n ⨉ m = a m ⨉ n

“Oooohhh….jadi begitu rupanya.” Bono mengangguk-anggukkan kepalanya.
“Nah, coba sekarang pecahkan contoh-contoh soal berikut, Bon!” kata Lusi sembari menyodorkan sehelai kertas pada Bono berisikan contoh soal berikut.

Contoh:

Tentukan bentuk yang ekuivalen dengan bentuk bilangan berpangkat berikut:

  1. (136)2
  2. (52)2

Penyelesaian:

Berdasarkan sifat perpangkatan bilangan berpangkat,

  1. (136)2 = 13 (6 ⨉ 2) = 1312
  2. (52)2 = 5 (2 ⨉ 2) = 54

“Bagaimana Lus, jawabanku” tanya Bono kepada Lusi
“Dapat 100 Bon, hebat sekali kamu” jawab Lusi yang kagum melihat Bono belajar dengan baik hari ini.

Kesimpulan

Apakah kalian juga sudah jelas seperti Bono?
Yuk kita buat ringkasan mengenai sifat perkalian dan perpangkatan bilangan bulat.

  • am ⨉ an = a(m + n)
  • (a ⨉ b)m = am ⨉ bm
  • (am)n = a (m ⨉ n)