Nilai Kebenaran Dua Pernyataan Majemuk dan Pernyataan Berkuantor

Nilai Kebenaran Dua Pernyataan Majemuk dan Pernyataan Berkuantor – Pada topik-topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Nah, pada topik ini, kalian akan belajar tentang nilai kebenaran dua pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

Yuk kita ingat kembali apa yang dimaksud dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan yang dibentuk dengan cara merangkai beberapa pernyataan. Berdasarkan kata penghubungnya, terdapat beberapa jenis pernyataan majemuk, yaitu:

• Konjungsi → menggunakan kata penghubung “dan” → notasi: ∧
• Disjungsi → menggunakan kata penghubung “atau” → notasi: ∨
• Implikasi → menggunakan kata penghubung “jika” … “maka” … → notasi: ⇒
• Biimplikasi → menggunakan kata penghubung “jika dan hanya jika” → notasi: ⇔

Adapun nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk adalah sebagai berikut:

Apakah kalian masih ingat dengan kuantor?

Kuantor dari suatu pernyataan adalah istilah yang digunakan untuk menyatakan
“berapa banyak” objek di dalam suatu kalimat atau pembicaraan.

Dalam logika kalimat, terdapat dua jenis kuantor yaitu:

• kuantor eksistensial, dilambangkan dengan Ǝ dan memiliki arti “ada” atau “terdapat”
• kuantor universal, dilambangkan dengan ∀ dan memiliki arti “untuk setiap” atau “semua”

Dengan kata lain, pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung kuantor,
baik kuantor eksistensial maupun kuantor universal.

Contoh:

• Setiap hari Alex lari pagi mengelilingi taman
• Ada bunga mawar berwarna putih
• (∀x)(Ǝy)(x + y = 0)
• (Ǝx)(∀y)(x + y = y)

Nilai kebenaran dari dua pernyataan majemuk dapat ditentukan dengan menggunakan tabel nilai kebenaran.Contoh 1:

Tentukan nilai kebenaran dari (p ∨ q) ∧ (p ⇒ q).

Penyelesaian:

Pernyataan (p ∨ q) ∧ (p ⇒ q) terdiri atas dua pernyataan majemuk, yaitu:

• (p ∨ q)
• (p ⇒ q)

Dengan demikian, kita perlu menentukan nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan majemuk tersebut.

Jika kita gunakan prinsip konjungsi, maka tabel nilai kebenaran dari pernyataan
(p ∨ q) ∧ (p ⇒ q) adalah sebagai berikut:

Apabila tabel-tabel di atas disajikan secara bersamaan, maka akan kita peroleh tabel nilai kebenaran sebagai berikut:

Berdasarkan tabel nilai kebenaran di atas,

• jika p dan q keduanya benar (B), maka (p ∨ q) ∧ (p ⇒ q) bernilai benar (B)
• jika p benar (B) dan q salah (S), maka (p ∨ q) ∧ (p ⇒ q) bernilai salah (S)
• jika p salah (S) dan q benar (B), maka (p ∨ q) ∧ (p ⇒ q) bernilai benar (B)
• jika p dan q keduanya salah (S), maka (p ∨ q) ∧ (p ⇒ q) bernilai salah (S)

Yuk kita cermati beberapa contoh pernyataan berkuantor dan cara menentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor tersebut.

Contoh :

Pernyataan (∀x ∈ ℝ)(x > 0 ∨ x < 0) dibaca:

• “Untuk setiap x anggota himpunan bilangan riil, x merupakan bilangan positif atau x merupakan bilangan negatif.”

Maksud dari pernyataan di atas adalah seluruh anggota himpunan bilangan riil dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu bilangan negatif atau positif.

Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut?

Oleh karena bilangan riil memuat bilangan 0 (nol) dan nol bukan merupakan bilangan negatif maupun positif, maka dapat kita simpulkan bahwa pernyataan (∀x ∈ ℝ)(x > 0 ∨ x < 0)
bernilai salah (S).