Pernyataan yang Setara dengan Pernyataan Majemuk

Pernyataan yang Setara dengan Pernyataan Majemuk – Tahukah kalian bahwa dua buah pernyataan majemuk dengan bentuk yang berbeda dapat menjadi setara atau ekuivalen?

Lalu bagaimana cara mengetahui apakah dua buah pernyataan majemuk setara atau tidak?

Mari kita temukan jawabannya dalam topik ini.

Kata penghubung yang digunakan pada implikasi adalah “jika … maka …”. Adapun notasi matematis untuk kata penghubung “jika … maka …” adalah ⇒.

Jika p dan q adalah pernyataan tunggal, maka implikasi dari kedua pernyataan tersebut dinotasikan dengan p ⇒ q dan dibaca : “jika p maka q“.

Nilai kebenaran dari bentuk implikasi p ⇒ q disajikan dalam tabel berikut.

Dalam logika kalimat, ada dua pernyataan majemuk yang setara dengan bentuk implikasi, yaitu

• p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p → kontraposisi
• p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p ∨ q → bentuk disjungsi

Kesetaraan suatu pernyataan majemuk dengan pernyataan majemuk lain dapat kita ketahui melalui tabel nilai kebenaran. Pernyataan-pernyataan majemuk yang setara (ekuivalen) akan memiliki nilai kebenaran yang sama.

Mari kita perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.

Apa pendapat kalian mengenai tabel nilai kebenaran di atas?

Pada tabel di atas, tampak bahwa (p ⇒ q), (~q ⇒ ~p), dan (~p ∨ q) memiliki nilai kebenaran yang sama. Dengan demikian, ketiga pernyataan tersebut setara (ekuivalen).

Contoh 1:

Jika adik mendapat nilai yang bagus, maka ia dibelikan sepeda baru.

Pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas adalah

• Jika adik tidak dibelikan sepeda baru, maka ia tidak mendapat nilai yang bagus.
• Adik tidak mendapat nilai yang bagus atau ia dibelikan sepeda baru.

Contoh 2:

Jika p adalah bilangan prima, maka p memiliki tepat dua faktor.

Pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas adalah

• Jika p tidak memiliki tepat dua faktor, maka p bukan bilangan prima.
• p bukan merupakan bilangan prima atau p memiliki tepat dua faktor.

Pada topik sebelumnya kalian juga telah belajar mengenai biimplikasi.
Apakah kalian masih ingat?

Biimplikasi merupakan implikasi dua arah. Kata penghubung yang digunakan pada biimplikasi adalah “jika dan hanya jika”. Adapun notasi matematis untuk kata penghubung “jika dan hanya jika” adalah ⇔.

Jika p dan q adalah pernyataan tunggal, maka biimplikasi dari kedua pernyataan tersebut dinotasikan dengan p ⇔ q dan dibaca : “p jika dan hanya jika q“.

Nilai kebenaran dari bentuk biimplikasi p ⇔ q disajikan dalam tabel berikut.

Apa pendapat kalian mengenai dua tabel nilai kebenaran berikut ini?

Pada tabel pertama, pernyataan (p ⇔ q) mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). Adapun pada tabel kedua, nilai kebenaran dari pernyataan
~(p ⇔ q), (p ⇔ ~q), dan (~p ⇔ q) adalah sama.

Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa

• (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
• ~(p ⇔ q) ≡ (p ⇔ ~q) ≡ (~p ⇔ q)

Apakah kalian sudah paham?
Mari kita cermati dua contoh berikut agar kalian semakin paham.

Contoh 3:

Adik dibelikan sepeda baru jika dan hanya jika ia juara kelas.

Pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas adalah

• Jika adik dibelikan sepeda baru, maka ia juara kelas dan jika adik juara kelas, maka ia dibelikan sepeda baru.

Contoh 4:

Pernyataan yang setara dengan ingkaran dari pernyataan: “Adik dibelikan sepeda baru jika dan hanya jika ia juara kelas” adalah

• Adik dibelikan sepeda baru jika dan hanya jika ia tidak juara kelas.
• Adik tidak dibelikan sepeda baru jika dan hanya jika ia juara kelas.