Pernyataan yang Setara dengan Pernyataan Berkuantor

Pernyataan yang Setara dengan Pernyataan Berkuantor – Masih ingatkah kalian tentang pernyataan berkuantor? Tahukah kalian bahwa ada pernyataan yang setara dengan pernyataan berkuantor?

Mari kita temukan jawabannya dalam topik ini.

Pernyataan yang Setara dengan Pernyataan Berkuantor Eksistensial

Pada topik sebelumnya, telah disampaikan bahwa ada beberapa pernyataan yang setara dengan suatu pernyataan majemuk. Ternyata hal tersebut juga dapat kita temui pada kalimat berkuantor. Ada beberapa pernyataan yang setara dengan suatu pernyataan berkuantor.

Secara umum, kesetaraan pernyataan majemuk berkuantor mengikuti kesetaraan pada pernyataan majemuk yang telah kita bahas pada topik sebelumnya.

Pernyataan berbentuk (Ǝx)(p(x) ⇒ q(x))

Pernyataan berbentuk (Ǝx)(p(x) ⇒ q(x)) setara dengan

(Ǝx)(~q(x) ⇒ ~p(x))
(Ǝx)(~p(x) ∨ q(x))

Contoh 1:

Pernyataan “terdapat udang di meja makan, sedemikian sehingga jika Ani memakannya maka ia mengalami alergi” akan setara dengan dua pernyataan berikut:

“terdapat udang di meja makan, sedemikian sehingga jika Ani tidak mengalami alergi maka Ani tidak memakannya”
“terdapat udang di meja makan, sedemikian sehingga Ani tidak memakannya atau Ani mengalami alergi”

Pernyataan berbentuk (Ǝx)(p(x) ⇔ q(x))

Pernyataan berbentuk (Ǝx)(p(x) ⇔ q(x)) setara dengan (Ǝx)((p(x) ⇒ q(x)) ∧ (q(x) ⇒ p(x))).

Contoh 2:

Pernyataan “terdapat video game di rumah, sedemikian sehingga Bono boleh memainkannya jika dan hanya jika ia telah selesai belajar” setara dengan pernyataan

“terdapat video game di rumah, sedemikian sehingga jika Bono boleh memainkannya maka ia telah selesai belajar dan jika Bono telah selesai belajar maka ia boleh memainkannya”

Pernyataan berbentuk (Ǝx)(p(x) ∨ q(x))

Pernyataan berbentuk (Ǝx)(p(x) ∨ q(x)) setara dengan pernyataan berbentuk (Ǝx)(q(x) ∨ p(x)).

Contoh 3:

Pernyataan “terdapat undangan ulang tahun, sedemikian sehingga Rima akan pergi bersama Ami atau bersama Dewi” setara dengan pernyataan

“terdapat undangan ulang tahun, sedemikian sehingga Rima akan pergi bersama Dewi atau bersama Ami”

Pernyataan berbentuk (Ǝx)(p(x) ∧ q(x))

Pernyataan berbentuk (Ǝx)(p(x) ∧ q(x)) setara dengan pernyataan berbentuk (Ǝx)(q(x) ∧ p(x)).

Contoh 4:

Pernyataan “terdapat alat olahraga, sedemikian sehingga siswa kelas A menggunakannya pada hari Selasa dan siswa kelas B menggunakannya pada hari Rabu” setara dengan pernyataan

“terdapat alat olahraga, sedemikian sehingga siswa kelas B menggunakannya pada hari Rabu dan siswa kelas A menggunakannya pada hari Selasa”.

Pernyataan yang Setara dengan Pernyataan Berkuantor Universal

Selain kuantor eksistensial, terdapat pula kuantor universal.
Dengan demikian, terdapat pula pernyataan yang setara dengan pernyataan berkuantor universal.

Pernyataan berbentuk (∀x)(p(x) ⇒ q(x))

Pernyataan berbentuk (∀x)(p(x) ⇒ q(x)) setara dengan

(∀x)(~q(x) ⇒ ~p(x))
(∀x)(~p(x) ∨ q(x))

Contoh 1:

Pernyataan “Untuk setiap buku di perpustakaan berlaku bahwa jika seorang siswa diperbolehkan meminjamnya, maka ia harus bersedia mengembalikannya tepat waktu” akan setara dengan dua pernyataan berikut:

“untuk setiap buku di perpustakaan berlaku bahwa jika seorang siswa tidak bersedia mengembalikannya tepat waktu, maka ia tidak diperbolehkan meminjamnya”
“untuk setiap buku di perpustakaan berlaku bahwa seorang siswa tidak diperbolehkan meminjamnya atau ia harus bersedia mengembalikannya tepat waktu”

Pernyataan berbentuk (∀x)(p(x) ⇔ q(x))

Pernyataan berbentuk (∀x)(p(x) ⇔ q(x)) setara dengan (∀x)((p(x) ⇒ q(x)) ∧ (q(x) ⇒ p(x))).

Contoh 2:

Pernyataan “untuk setiap kartu tanda penduduk berlaku bahwa seseorang dapat memilikinya jika dan hanya jika ia telah berumur 17 tahun” setara dengan pernyataan

“untuk setiap kartu tanda penduduk berlaku bahwa jika seseorang dapat memilikinya maka ia telah berumur 17 tahun dan jika seseorang telah berumur 17 tahun maka ia dapat memilikinya”

Pernyataan berbentuk (∀x)(p(x) ∨ q(x))

Pernyataan berbentuk (∀x)(p(x) ∨ q(x)) setara dengan pernyataan berbentuk
(∀x)(q(x) ∨ p(x)).

Contoh 3:

Pernyataan “untuk setiap jenis mainan di Toko Kiddi berlaku bahwa anak-anak boleh membeli atau memainkannya” setara dengan pernyataan

“untuk setiap jenis mainan di Toko Kiddi berlaku bahwa anak-anak boleh memainkan atau membelinya”

Pernyataan berbentuk (∀x)(p(x) ∧ q(x))

Pernyataan berbentuk (∀x)(p(x) ∧ q(x)) setara dengan pernyataan berbentuk
(∀x)(q(x) ∧ p(x)).